jueves, 3 de diciembre de 2009

HIPÓTESIS DE DISEÑO Equilibrio de las fuerzas y compatibilidad de las deformaciones

El cálculo de la resistencia de un elemento o de una sección transversal mediante el Método de Diseño por Resistencia exige que se satisfagan dos condiciones básicas: (1) equilibrio estático y (2) compatibilidad de las deformaciones.

La primera condición exige que las fuerzas de compresión y tracción que actúan en la sección transversal para la resistencia
"última" estén en equilibrio, mientras que la segunda condición exige que también se satisfaga la compatibilidad entre las deformaciones del hormigón y de la armadura bajo condiciones "últimas" dentro de las hipótesis de diseño permitidas por el código (ver 10.2).

El término "último" es muy utilizado en relación con el Método de Diseño por Resistencia. Pero es necesario tener en cuenta que la resistencia "nominal" calculada de acuerdo con los requisitos del código puede no necesariamente ser el valor último
real. Dentro de las hipótesis de diseño permitidas, se desprecian algunas de las propiedades de los materiales y se establecen otros límites conservadores para utilizar en el diseño práctico. Esto contribuye a la posibilidad de que la "resistencia última" sea menor que la obtenida mediante ensayos. La resistencia nominal calculada se debería considerar exclusivamente como una resistencia definida por el código. En consecuencia, al definir la resistencia calculada de un elemento no se utiliza el término "último," sino que se usa el término "nominal."

miércoles, 2 de diciembre de 2009

INTRODUCCIÓN A LOS REQUISITOS DE DISEÑO UNIFICADO

Los Requisitos de Diseño Unificado, que ahora se encuentran en el cuerpo principal del código, no modifican las resistencias nominales. La resistencia nominal de una sección sigue siendo igual a la que se usaba en los cálculos anteriores. Sin embargo,

los Requisitos de Diseño Unificado alteran el cálculo de las resistencias de diseño, las cuales se obtienen reduciendo las resistencias nominales mediante la aplicación del factor de reducción .

Las siguientes definiciones se relacionan con los Requisitos de Diseño Unificado, y fueron tomadas del Capítulo 2 del código.
En esta sección se da una breve explicación de estas definiciones; las secciones relevantes del código contienen una discusión más detallada.

1. Deformación específica neta de tracción: Deformación específica de tracción cuando la solicitación alcanza la resistencia nominal, excluyendo las deformaciones específicas debidas al pretensado efectivo, la fluencia lenta, la contracción y la temperatura. La frase "cuando la solicitación alcanza la resistencia nominal" significa en el momento que el hormigón llega
al límite de deformación específica supuesto de 0,003 (10.2.3). La "deformación específica neta de tracción" es la deformación provocada por los momentos flectores y las cargas axiales, excluyendo la deformación provocada por el pretensado y los cambios volumétricos. La deformación específica neta de tracción es la que normalmente se calcula en los cálculos de la resistencia nominal.

2. Acero más traccionado: Armadura (pretensada o no pretensada) más alejada de la fibra comprimida extrema. El símbolo dt
se usa para representar la profundidad entre la fibra comprimida extrema y el acero más traccionado. La deformación
específica neta de tracción en el acero más traccionado es simplemente la máxima deformación específica de tracción debida a las cargas externas.

3. Valor límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión: Deformación específica neta de tracción bajo condiciones de deformación específica balanceada; ver 10.3.2. La definición de condiciones de deformación balanceada de 10.3.2 no ha cambiado respecto de ediciones anteriores del código. Sin embargo, 10.3.3 permite tomar el valor límite de deformación específica para secciones controladas por compresión para la armadura Grado 60 y para la armadura pretensada igual a 0,002.

4. Sección controlada por compresión: Sección transversal en la cual la deformación específica neta de tracción en el acero más traccionado para la resistencia nominal es menor o igual que el valor límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión. Para las secciones controladas por compresión, el artículo 9.3.2.2 establece un factor de reducción de la resistencia igual a 0,65 ó 0,7.

5. Sección controlada por tracción: Sección transversal en la cual la deformación específica neta de tracción en el acero más traccionado para la resistencia nominal es mayor o igual que 0,005. Para las secciones controladas por tracción, el artículo
9.3.2.1 establece un factor de reducción de la resistencia igual a 0,9. Sin embargo, ediciones anteriores del código permitían usar un igual a 0,9 para los elementos solicitados a flexión con cuantías iguales a 0,75 por la cuantía de armadura balanceada ρb. Para las secciones rectangulares, la correspondiente deformación específica neta de tracción εt es igual a 0,00376. Usando los nuevos factores de carga reducidos, sólo se permite usar un de 0,9 para secciones menos armadas en las cuales εt ≥ 0,005.

martes, 1 de diciembre de 2009

CONSIDERACIONES GENERALES

Históricamente, el método de la resistencia última fue el primer método usado para el diseño, debido a que la carga última se podía medir directamente mediante ensayos sin conocer la magnitud ni la distribución de las tensiones internas. A partir de principios de siglo se realizaron ensayos e investigaciones analíticas con el objetivo de desarrollar teorías de diseño basadas en
la resistencia última con las cuales se pudiera predecir la carga última medida en los ensayos. En la Figura 6-1 se ilustran algunas de las primeras teorías que surgieron como resultado de estos ensayos e investigaciones.

Tanto el hormigón estructural como el acero de las armaduras se comportan inelásticamente a medida que se acercan a la resistencia última. En las teorías que tratan la resistencia última del hormigón armado, se debe considerar el comportamiento elástico de ambos materiales y se los debe expresar en términos matemáticos. Para los aceros que tienen un punto de fluencia bien definido, el comportamiento inelástico se puede expresar como una relación tensión-deformación bilineal (Fig. 6-2). Para el hormigón es más difícil medir experimentalmente la distribución inelástica de las tensiones y de expresarla en términos matemáticos.

Los estudios realizados para determinar la distribución de tensiones en el hormigón dieron por resultado diferentes distribuciones de tensiones propuestas, como se ilustra en la Figura 6-1. El desarrollo de los actuales procedimientos de diseño por resistencia tiene su base en estos primeros estudios experimentales y analíticos. La resistencia última del hormigón armado que se utiliza en las especificaciones de diseño estadounidenses se basa fundamentalmente en las teorías de 1912 y 1932 (Fig.
6-1).

lunes, 30 de noviembre de 2009

Momentos mayorados negativos y positivos

El momento estático total de un tramo se divide en momentos de diseño positivos y negativos como se ilustra en la Figura 19-4. En la Figura 19-4 se ilustran los momentos en el tramo extremo de una placa plana o una losa plana sin vigas de borde (sistemas de losa sin vigas entre sus apoyos interiores y sin viga de borde). Para otras condiciones el momento estático total Mo se distribuye como se indica en la Tabla 19-1.

domingo, 29 de noviembre de 2009

sábado, 28 de noviembre de 2009

Momento estático mayorado total para un tramo

Para carga uniforme, el momento de diseño total Mo para un tramo de la franja de diseño se calcula simplemente aplicando la expresión correspondiente a momento estático:




siendo wu la combinación mayorada de carga permanente y sobrecargas (lb/ft2), wu = 1,2wd+1,6wℓ. La luz libre ℓn (en la dirección de análisis) se define de manera directa si las columnas u otros elementos de apoyo tienen sección transversal rectangular. La luz libre comienza en la cara del apoyo. En la Figura 19-3 se define lo que es la cara del apoyo. Una limitación requiere que la luz libre no se tome menor que 65% de la luz medida entre los centros de los apoyos (13.6.2.5). La longitud ℓ2 es simplemente la luz (entre centros) transversal a ℓn. Sin embargo, cuando se considera un tramo adyacente a un borde y paralelo al mismo, para calcular Mo se debe sustituir ℓ2 por la distancia entre el borde y el eje del panel de losa considerado (13.6.2.4).


viernes, 27 de noviembre de 2009

A.1 DEFINICIONES (IV)

Típicamente las bielas de compresión tendrán forma de botella si la biela se puede ensanchar lateralmente a la mitad de su longitud. A modo de hipótesis simplificadora para el diseño, generalmente las bielas se idealizan como elementos prismáticos comprimidos, aunque también es posible utilizar otras geometrías. Si la resistencia efectiva a la compresión del hormigón (fcu) difiere en los extremos opuestos de una biela, se sugiere idealizar la biela como un elemento comprimido uniformemente ahusado. Esto puede ocurrir en el caso que en los dos extremos de una biela las zonas nodales tengan diferentes resistencias o diferentes longitudes de apoyo. Si la tensión de compresión en la biela es elevada es posible que sea necesario proveer armadura para impedir fallas por tracción transversal. (La fisuración por tracción transversal desarrollada en elementos cilíndricos apoyados de lado y solicitados a compresión es un buen ejemplo del ensanchamiento lateral de las trayectorias de las tensiones de compresión.)

jueves, 26 de noviembre de 2009

A.1 DEFINICIONES (III)

Bielas - Las bielas son los elementos comprimidos del modelo de bielas y tirantes, y representan las resultantes de un campo de compresión. Tanto los campos de compresión paralelos como los campos de compresión en forma de abanico se pueden modelar mediante sus bielas de compresión resultantes, como se ilustra en la Figura 17-3.

miércoles, 25 de noviembre de 2009

A.1 DEFINICIONES (II)

Aunque las regiones B se pueden diseñar usando los métodos de diseño tradicionales (ACI 318, Capítulos 10 y 11), el modelo de bielas y tirantes se introdujo fundamentalmente para simplificar el diseño de las regiones D, y su aplicación se puede extender también a las regiones B. El modelo de bielas y tirantes representa la región D del elemento estructural mediante un sistema reticulado compuesto por bielas de compresión y tirantes de tracción, conectados en nodos, como se ilustra en la Figura 17-2. Este sistema reticulado se diseña de manera de transferir las cargas mayoradas a los apoyos o a las regiones B adyacentes. A la vez, las fuerzas en los elementos del reticulado deben mantener el equilibrio con las cargas aplicadas y las reacciones.


martes, 24 de noviembre de 2009

ENTALLADURAS HORIZONTALES EN VIGAS (IV): . Flexión

En la Figura 15-5 se ilustran las condiciones correspondientes a flexión y tracción directa.

Vu a f Nuc h d Af f y jd  (2)

Nuc An f y


La armadura principal de tracción As debe ser igual al mayor valor entre (Af + An) ó (2Avf /3 + An). Si (W + 5af) > S, la
armadura se debe colocar en una distancia S. En los extremos de la entalladura, la armadura se debe colocar en una distancia
(2c), siendo c la distancia entre el centro del apoyo del extremo y el extremo de la entalladura, pero nunca mayor que 1/2 (W +
5af). La Referencia 15.5 recomienda adoptar jd= 0,8d.

lunes, 23 de noviembre de 2009

ENTALLADURAS HORIZONTALES EN VIGAS (III) . Corte por fricción

En la Figura 15-4 se ilustran los parámetros que afectan la determinación de la armadura de corte por fricción.

domingo, 22 de noviembre de 2009

ENTALLADURAS HORIZONTALES EN VIGAS (II)

El procedimiento de diseño descrito en esta sección se basa en investigaciones realizadas por Mirza y Furlong (Referencias 15.3 a
15.5). La información clave que necesita el ingeniero es poder establecer el ancho efectivo de la entalladura para cada uno de los potenciales modos de falla. Mirza y Furlong determinaron estos anchos efectivos realizando estudios analíticos cuyos resultados han sido verificados mediante ensayos a gran escala. Las entalladuras horizontales en las vigas también se pueden diseñar aplicando el procedimiento de diseño por bielas y tirantes (ver la discusión correspondiente en la Parte 32).

El diseño para impedir los modos de falla localizados exige considerar las siguientes acciones:

1. Corte Vu

2. Fuerza de tracción horizontal Nuc mayor o igual que 0,2Vu, pero nunca mayor que Vu

3. Momento Mu = Vuaf + Nuc (h – d)

La armadura para los diferentes modos de falla se determina en base a los anchos efectivos o secciones críticas que se discuten a continuación. En todos los casos, las resistencias requeridas (Vu, Mu, Nu) nunca deben ser menores o iguales que las resistencias de diseño (Vn, Mn, Nn). El factor de reducción de la resistencia se toma igual a 0,75 para todas las acciones, igual que en el caso


de las ménsulas. A continuación se indican los requisitos de resistencia para los diferentes modos de falla en el caso de hormigón
de peso normal. Si se utiliza hormigón de agregados livianos se deberán realizar las modificaciones especificadas en el artículo
11.2.

sábado, 21 de noviembre de 2009

Resistencia al momento torsor

La resistencia a la torsión de diseño debe ser mayor o igual que la resistencia a la torsión requerida:

Tn Tu Ec. (11-20)

El desarrollo de la expresión para calcular la resistencia nominal al momento torsor en términos de la tensión de fluencia de los estribos ya se indicó anteriormente (ver Ecuación (5)):


2Ao At f yv
T  cot 
s


Ec. (11-21)


donde: Ao 0, 85Aoh (suposición adoptada por motivos de simplicidad)

Aoh = área encerrada por el eje de la armadura transversal cerrada más externa dispuesta para resistir torsión,
como se ilustra en la Figura 13-5

θ = ángulo de las diagonales comprimidas, comprendido entre 30 y 60 grados. En el artículo 11.6.3.6 se sugiere usar un valor de 45 grados para los elementos no pretensados y 37,5 grados para elementos pretensados con una fuerza de pretensado mayor que el 40 por ciento de la resistencia a tracción de la armadura longitudinal.

Observar que la definición de Ao usada en la Ecuación (8) corresponde a la sección no fisurada. Observar también que la resistencia nominal a la torsión, Tn, se alcanza después que el hormigón se ha fisurado y después que el elemento de hormigón


ha sufrido una considerable rotación por torsión. Bajo estas grandes deformaciones es posible que el hormigón se haya descascarado. Por este motivo, cuando se calcula el área Ao correspondiente a Tn se ignora el recubrimiento de hormigón. Así,
el parámetro Ao se relaciona con Aoh, el área encerrada por el eje de la armadura transversal cerrada más externa dispuesta para resistir torsión. El área Ao se puede determinar aplicando un análisis riguroso (Referencia 13.3) o bien simplemente suponer igual a 0,85Aoh. Ver el artículo 11.6.3.6.

viernes, 20 de noviembre de 2009

Equilibrio y compatibilidad - Momento torsor mayorado, Tu: Sección crítica

En los elementos no pretensados, la sección crítica para el diseño a torsión se encuentra a una distancia "d" (profundidad efectiva) medida desde de la cara del apoyo. Las secciones ubicadas a una distancia menor que d desde la cara del apoyo se deben diseñar para el momento torsor determinado a una distancia d medida desde el apoyo. Cuando hay una viga secundaria vinculada a una viga principal a una distancia menor que d medida desde el apoyo, en la viga principal ocurre un momento torsor concentrado dentro de la distancia d. En estos casos, el momento torsor de diseño se debe tomar en la cara del apoyo. Esta misma regla se aplica a los elementos pretensados, excepto que la distancia d se reemplaza por h/2, siendo h la altura total del elemento. Para los elementos compuestos o construidos en etapas h es la altura total de la sección compuesta.

jueves, 19 de noviembre de 2009

Equilibrio y compatibilidad - Momento torsor mayorado, Tu

Ya sea que un elemento de hormigón armado esté solicitado exclusivamente a torsión o a una combinación de flexión y corte,
la rigidez de dicho elemento disminuirá luego de su fisuración. Después que el elemento se ha fisurado, la rigidez torsional sufre una reducción mucho mayor que la rigidez flexional. Si en un elemento el momento torsor Tu no se puede reducir por medio de una redistribución de las fuerzas internas en la estructura, dicho elemento se debe diseñar para la totalidad del momento torsor Tu (11.6.2.1). Esto se conoce como "torsión de equilibrio," dado que el momento torsor es necesario para el equilibrio de la estructura (ver Figura R11.6.2.1). Si se puede realizar una redistribución de las fuerzas internas, como en el caso de las estructuras indeterminadas, es posible reducir el momento torsor de diseño. Este tipo de momento torsor se conoce como "torsión de compatibilidad" (ver Figura R11.6.2.2). No es necesario que los elementos solicitados a torsión de compatibilidad se diseñen para un momento torsor mayor que el producto entre el momento torsor de fisuración y el factor de reducción de la resistencia (0,75 para torsión, ver 9.3.2.3). Para el caso de torsión de compatibilidad donde se verifique Tu > Tcr el elemento se puede diseñar para Tcr solamente, siempre que en el diseño de los demás elementos de la estructura se tome en cuenta la redistribución de las fuerzas internas (11.6.2.2). El momento torsor de fisuración Tcr se calcula usando la Ecuación (9) para los elementos no pretensados, usando la Ecuación (10) para los elementos pretensados, y usando la Ecuación
(11) para los elementos no pretensados solicitados por una fuerza de tracción o compresión axial. Para las secciones huecas, en estas ecuaciones Acp no se reemplaza por Ag (11.6.2.2). Multiplicando el momento torsor de fisuración por (Ag/Acp) por segunda vez se refleja la transición entre la interacción circular entre las cargas de fisuración inclinada en corte y torsión correspondiente a elementos macizos, y la interacción aproximadamente lineal correspondiente a secciones huecas de pared delgada.

miércoles, 18 de noviembre de 2009

martes, 17 de noviembre de 2009

Longitud sin apoyo lateral y longitud efectiva de elementos comprimidos (V)



Para los elementos comprimidos articulados en uno de sus extremos, en pórticos desplazables, el factor de longitud efectiva se puede tomar como (Referencias ACI 10.33 y 10.34):

k 2, 0 0, 3

donde ψ es la relación entre las rigideces de la columna y la viga en el extremo restringido.

Al determinar el factor de longitud efectiva, k, usando las Figuras 11-10 y 11-11, o usando las ecuaciones del Comentario, las rigideces (EI) de las vigas (o de las losas) y de las columnas se deben calcular en base a los valores dados en 10.11.1.

lunes, 16 de noviembre de 2009

Longitud sin apoyo lateral y longitud efectiva de elementos comprimidos (IV)

Resumiendo, se pueden hacer los siguientes comentarios.

1. Para los elementos solicitados a compresión en pórticos indesplazables, la longitud efectiva ℓe está comprendida entre ℓu/2 y ℓu, siendo ℓu la longitud real sin apoyo lateral de la columna.

2. Para los elementos solicitados a compresión en pórticos desplazables, la longitud efectiva ℓe siempre es mayor que la longitud real de la columna ℓu, y puede ser igual a 2ℓu o mayor. En este caso un valor de k inferior a 1,2 no sería realista.

3. El uso de los nomogramas de las Figuras 11-10 y 11-11 (también en la Figura R10.12.1) permiten determinar gráficamente los factores de longitud efectiva para los elementos solicitados a compresión de pórticos indesplazables y desplazables, respectivamente. Si ambos extremos de una columna de un pórtico indesplazable tienen mínima rigidez rotacional, o se aproximan a ψ = ∞, y entonces k = 1,0. Si ambos extremos se aproximan al empotramiento perfecto, ψ = 0, y k = 0,5. Si ambos extremos de una columna de un pórtico desplazable tienen mínima rigidez rotacional, o se aproximan a ψ = ∞, entonces k = ∞.
Si ambos extremos se aproximan al empotramiento perfecto, ψ = 0, entonces k = 1,0.

R10.12.1 presenta un método alternativo para calcular los factores de longitud efectiva para los elementos comprimidos en pórticos indesplazables y desplazables. Para los elementos comprimidos en pórticos indesplazables, se puede tomar como límite superior para el factor de longitud efectiva el menor de los valores dados por las siguientes expresiones, tomadas del documento 1992
British Standard Code of Practice (Referencias ACI 10.33 y 10.34):


donde ψA y ψB son los valores de ψ en los extremos de la columna y min es el menor de los dos valores.

Para los elementos comprimidos restringidos en ambos extremos, en pórticos desplazables, el factor de longitud efectiva se puede tomar como (Referencia ACI 10.32):

domingo, 15 de noviembre de 2009

B. Método del Contorno de las Cargas de Bresler (II)

Para utilizar la Ecuación (10) o la Figura 7-12 aún es necesario determinar el valor α para la sección transversal considerada. Bresler indicó que, típicamente, α variaba entre 1,15 y 1,55 y que un valor de 1,5 era razonablemente exacto para la mayoría de las secciones cuadradas y rectangulares con armadura uniformemente distribuida.

Fijando α igual a la unidad, la ecuación de interacción se vuelve lineal:

sábado, 14 de noviembre de 2009

B. Método del Contorno de las Cargas de Bresler (I)

En este método se aproxima la superficie S3 (Pn, Mnx, Mny) mediante una familia de curvas correspondientes a valores constantes de
Pn. Como se ilustra en la Figura 7-11, estas curvas se pueden considerar como "contornos de las cargas."

La expresión general para estas curvas se puede aproximar7.6 por medio de una ecuación de interacción adimensional de la forma


donde Mnx y Mny son las resistencias nominales al momento biaxial en las direcciones de los ejes x e y, respectivamente. Observar
que estos momentos son el equivalente vectorial del momento uniaxial Mn. El momento Mnox es la resistencia nominal al momento
uniaxial respecto del eje x, y el momento Mnoy es la resistencia nominal al momento uniaxial respecto del eje y. Los valores de los
exponentes α y β son función de la cantidad, distribución y ubicación de la armadura, las dimensiones de la columna, y la resistencia y las propiedades elásticas del acero y el hormigón. Bresler7.6 indica que es razonable suponer α = β; por lo tanto, la Ecuación (9) se convierte en

viernes, 13 de noviembre de 2009

A. Método de las Cargas Recíprocas de Bresler

Este método aproxima la ordenada 1/Pn en la superficie S2 (1/Pn, ex, ey) mediante una ordenada correspondiente 1/P'n en el plano S'2
(1/P'n, ex, ey), el cual se define por los puntos característicos A, B y C como se indica en la Figura 7-10. Para cualquier sección
transversal en particular, el valor Po (correspondiente al punto C) es la resistencia a la carga bajo compresión axial pura; Pox
(correspondiente al punto B) y Poy (correspondiente al punto A) son las resistencias a la carga bajo excentricidades uniaxiales ey y
ex, respectivamente. Cada punto de la superficie verdadera se aproxima mediante un plano diferente; por lo tanto, la totalidad de la
superficie se aproxima usando un número infinito de planos.

La expresión general para la resistencia a la carga axial p ara cualquier valor de ex y ey es la siguiente:7.6


Reordenando las variables se obtiene:



Esta ecuación tiene una forma sencilla y las variables se pueden determinar fácilmente. Las resistencias a la carga axial Po, Pox y
Poy se determinan usando cualquiera de los métodos presentados anteriormente para flexión uniaxial con carga axial. Resultados
experimentales han demostrado que esta ecuación será razonablemente exacta si la flexión no gobierna el diseño. La ecuación sólo
se debe usar si:

Pn ≥ 0,1 f'c Ag

jueves, 12 de noviembre de 2009

Longitudes de las barras de la armadura inferior. (III)

Como se puede observar, las 2 barras No. 8 se extienden en la totalidad de la luz, más 6 in. que se
prolongan dentro de los apoyos. Las 2 barras No. 9 terminan tentativamente a 4,5 y 3,5 ft de los apoyos exterior e interior, respectivamente. Estas ubicaciones tentativas de las secciones donde se interrumpen las barras No. 9 se determinan de la siguiente manera:

Las dimensiones (1) y (2) deben ser d ó 12db, cualquiera sea el valor que resulte mayor. 12.10.3

d 19, 4 in. 1, 6 ft (valor determinante)

12db 12 1,12813, 5 in.


Las dimensiones (3) y (4) deben ser mayores o iguales que  d . 12.10.4


Dentro de la longitud de anclaje  d

solamente se están anclando las 2 barras No. 8 (las 2 barras No. 9

ya se anclaron en la longitud de 8,45 ft).

Anclaje para las barras No. 8 ubicadas en las esquinas, ver Tabla 4-2.

 d 47db 47 1, 047 in. 3, 9 ft

Dimensión (3): 6,6 ft > 3,9 ft VERIFICA
Dimensión (4): 5,7 ft > 3,9 ft VERIFICA

Verificar la longitud de anclaje  d

requerida para las 2 barras No. 9. Observar que las 2 barras No. 8 ya

están ancladas en la longitud de 4 ft a partir del extremo de las barras.

Separación libre entre las 2 barras No. 9.

16 2 1, 52 0, 52 1, 02 1,128/ 3 2, 58 in. 2, 29db 2db


Para una barra No. 9:  d 47db

Tabla 4-2


47 1,12853 in. 4, 4 ft 8, 45 ft VERIFICA


Para las barras No. 8 verificar los requisitos de anclaje en los puntos de inflexión (P.I.). 12.11.3

 Mn  Ec. (12-3)
Vu

Para 2 barras No. 8, Mn 131, 8 / 0, 9 146, 4 ft-kips

A la izquierda del P.I.: Vu 77, 6 6 3, 556, 6 kips


 a = mayor valor entre

12db 12 1, 012 in. ó d 19, 4 in.

(valor determinante)


146, 4 12
 d  19, 4 50, 5 in.
56, 6


Para las barras No. 8:  d 47 in. 50, 5 in. VERIFICA

A la derecha del P.I.: Vu 56, 8 kips ; una simple inspección permite determinar que los requisitos de
anclaje para las barras No. 8 se VERIFICAN.

Como ambos puntos tentativos de interrupción de la armadura se encuentran en una zona traccionada por flexión se debe satisfacer una de las tres condiciones especificadas en la Sección 12.10.5.

En el punto de interrupción de la izquierda (a 4,5 ft del apoyo):

Vu 77, 7 4, 5 650, 6 kips

Vn 79, 4 kips (estribos en U No. 4 con una separación de 7 in.)

2 / 3 79, 452, 9 kips 50, 6 kips VERIFICA 12.10.5.1




4 - 46

A título ilustrativo, determinar si también se satisface la condición especificada en 12.10.5.3:


Mu 54,1 ft-kips a 4,5 ft

del apoyo


A requerida 0, 63 in.2


Para 2 barras N. 8, A provista 1, 58 in.2


1, 58 in.2 2 0, 631, 26 in.2 VERIFICA 12.10.5.3

3 / 4 79, 459, 6 kips 50, 6 kips VERIFICA 12.10.5.3

Por lo tanto, en la sección donde se interrumpen las barras también se satisface la condición de 12.10.5.3.


En el punto de interrupción de la derecha (a 3,5 ft del apoyo):

Vu 72, 4 3, 5 651, 4 kips

2 / 3 Vn 52, 9 kips 51, 4 kips VERIFICA






12.10.5.1


Resumen: Las secciones tentativas elegidas para interrumpir la armadura inferior satisfacen todos los
requisitos de anclaje exigidos por el Código. Las 2 barras No. 9 × 17 ft se tendrían que colocar de forma asimétrica dentro del tramo. Para asegurar la correcta colocación de las barras No. 9 sería prudente especificar para ambas una longitud de 18 ft; de este modo las barras se colocarían de forma simétrica
(a 3,5 ft de cada apoyo). En este caso los extremos de estas barras estarían en los puntos de inflexión o
próximos a los mismos, con lo cual ya no sería necesario satisfacer las condiciones especificadas en
12.10.5 para el caso de barras que terminan en una zona traccionada. Al final de este ejemplo ilustramos
la disposición de armadura recomendada.

miércoles, 11 de noviembre de 2009

Longitudes de las barras de la armadura inferior. (II)

La siguiente figura es una ilustración a mayor escala de la parte del diagrama de momentos donde el momento Mu es positivo, incluyendo los momentos resistentes de diseño Mn para la armadura total para momento positivo As (2 barras No. 8 y 2 barras No. 9) y para 2 barras No. 8 en forma separada. Para 2 barras No. 8 y 2 barras No. 9: Mn = 280,7 ft-kips. Para 2 barras No. 8: Mn = 131,8 ft-kips.

martes, 10 de noviembre de 2009

Longitudes de las barras de la armadura inferior. (I)

a. Número de barras que se deben prolongar hacia los apoyos. 12.11.1

Un cuarto de (As ) se debe prolongar dentro del apoyo una distancia mayor o igual que 6 in. Como el artículo 12.13.3 especifica que cada ángulo de doblado de los estribos debe contener una barra o alambre longitudinal, al menos 2 barras se deben prolongar en la totalidad de la longitud del elemento. Prolongar las 2 barras No. 8 en toda la luz (más la prolongación de 6 in. dentro del apoyo), e interrumpir las 2 barras No. 9 dentro del tramo.

b. Determinar la sección donde se interrumpirán las 2 barras No. 9 y verificar los demás requisitos de anclaje.

A continuación ilustramos los diagramas de corte y momento para el estado de carga que provoca el máximo momento positivo mayorado.


lunes, 9 de noviembre de 2009

CALIDAD, MEZCLADO Y COLOCACIÓN DEL HORMIGÓN ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002

1. Se agregó una oración al final del artículo 5.1.1 que estable que la resistencia a la compresión especificada del hormigón, f'c, debe ser mayor o igual que 2500 psi.

2. Se introdujeron varias revisiones significativas con respecto a las sobrerresistencias de diseño y los criterios de conformidad de los hormigones que tienen una resistencia a la compresión especificada, f'c, mayor que 5000 psi. Estas revisiones incluyen una modificación del cálculo de la resistencia a la compresión promedio requerida, f'cr, indicado en la nueva Tabla 5.3.2.1 (cuando hay datos de ensayos disponibles que permiten determinar la desviación estándar) y en la Tabla 5.3.2.2 existente (cuando no hay datos de ensayos disponibles). También se introdujeron los cambios correspondientes en los artículos 5.6.3.3(b), 5.6.5.1 y 5.6.5.2. Los criterios de conformidad actuales para los hormigones de todas las resistencias requieren realizar una investigación cuando los resultados de los ensayos de resistencia están más de 500 psi por debajo de f'c. El nuevo criterio de conformidad para los hormigones de más de 5000 psi exige realizar una investigación cuando los resultados de los ensayos de resistencia están más de un 10 por ciento por debajo de f'c. Este nuevo criterio permitirá que la variación de los resultados de los ensayos de resistencia sea mayor que 500 psi (por ejemplo, 600 psi para f'c = 6000 psi; 700 psi para f'c = 7000 psi; 800 psi para f'c = 8000 psi). Esto se fundamenta en el análisis exhaustivo de los resultados de ensayos de hormigones de alta resistencia que se han realizado durante los últimos veinte años. Estas revisiones fueron recomendadas por el Comité ACI 363 (Hormigón de Alta Resistencia), el Comité ACI 214 (Evaluación de los Datos obtenidos de Ensayos de Resistencia) y el Comité ACIC 211 (Dosificación del Hormigón), y su objetivo es proporcionar criterios más razonables y realistas para los hormigones de alta resistencia.

3. También se revisaron los métodos de preparación y almacenamiento de los testigos luego de su extracción y los límites de tiempo especificados para su ensayo (ver 5.6.5.3).

domingo, 8 de noviembre de 2009

PROTECCIÓN CONTRA LA CORROSIÓN DE LAS ARMADURAS Parte II

Los cloruros son uno de los materiales más abundantes que existen en la tierra; todos los ingredientes usados para elaborar hormigón contienen cantidades variables de cloruros. Los materiales y condiciones que potencialmente podrían aportar elevados contenidos de cloruros incluyen: el uso de agua de mar como agua de mezclado o como agua para lavar los agregados, ya que el agua de mar contiene cantidades significativas de sulfatos y cloruros; el uso de agregados de origen marino, ya que estos agregados a menudo contienen sal proveniente del agua de mar; el uso de agregados que han sido contaminados por el aire cargado de sal de las áreas costeras; el uso de aditivos que contienen cloruros, como por ejemplo cloruro de calcio; y el uso de sales anticongelantes como en el caso de las losas de los edificios para estacionamiento de vehículos. El ingeniero debe tener en cuenta el potencial riesgo que representan los cloruros para el hormigón en los ambientes marítimos o en otros casos donde hay exposición a las sales solubles. Investigaciones realizadas indican que el valor límite del contenido de cloruros solubles en agua necesario para proteger a las armaduras contra la corrosión puede ser muy bajo, tan bajo como 0,15 por ciento en peso del cemento. Si el contenido de cloruros es mayor que este valor límite y hay oxígeno y humedad disponibles, es muy probable que se produzca corrosión. Si el contenido de cloruros es menor que este valor límite, el riesgo de corrosión es bajo.

Dependiendo del tipo de construcción y del ambiente al cual la construcción estará expuesta durante su vida de servicio, y dependiendo también de la protección provista para limitar el ingreso de cloruros, el nivel de cloruros del hormigón puede aumentar con la edad y la exposición. La protección del hormigón contra el ingreso de cloruros se trata en la Sección 4.4.2 y
la Tabla 4.2.2. Para proteger contra la corrosión "a las armaduras del hormigón expuesto al ingreso de cloruros provenientes
de productos químicos anticongelantes, aguas salobres, agua de mar o atmósferas afectadas por estas fuentes," se debe especificar una relación w/c máxima igual a 0,40 y una resistencia mínima de 5000 psi. La resistencia a la corrosión de las armaduras también mejora cuando se utilizan recubrimientos de hormigón de mayor espesor. Si el hormigón estará expuesto a fuentes externas que podrían provocar el ingreso de cloruros, la Sección R7.7.5 recomienda utilizar un recubrimiento mínimo de hormigón de 2 in. para los tabiques y losas hormigonados en obra y de 2-1/2 in. para los demás elementos. Para los elementos prefabricados producidos en una planta los recubrimientos mínimos de hormigón recomendados son de 1-1/2
in. y 2 in., respectivamente.

Otros métodos para reducir la corrosión provocada por el medioambiente incluyen el uso de armaduras con revestimiento epoxi, aditivos inhibidores de la corrosión, tratamientos superficiales y protección catódica. Revestir las armaduras con resina epoxi impide que los cloruros lleguen al acero de las armaduras. Los aditivos inhibidores de la corrosión intentan detener químicamente la reacción de corrosión. Los tratamientos superficiales intentan detener o reducir la penetración de cloruros en las superficies expuestas de hormigón. Los métodos de protección catódica invierten el flujo de la corriente de corrosión a través del hormigón y las armaduras. Se debe observar que, dependiendo de la potencial severidad de la exposición a los cloruros y del tipo e importancia de la construcción, se pueden combinar dos o más de los métodos mencionados a fin de lograr una protección "aditiva." Por ejemplo, para las losas pretensadas usadas para estacionamiento de vehículos en climas fríos en los cuales se utilizan sales anticongelantes para retirar la nieve y el hielo, toda la armadura convencional y los cables de postesado pueden tener revestimiento epoxi, y todo el sistema de cables incluyendo los anclajes se pueden encapsular en un sistema impermeable al agua especialmente diseñado para ambientes agresivos. Junto con estas medidas se puede utilizar hormigón de alta calidad (impermeable), cubriendo toda la superficie de la losa con un tratamiento superficial con múltiples capas de membrana. En algunos casos se pueden justificar estas medidas de protección extremas. Para asegurar la resistencia contra la corrosión también se pueden realizar ensayos para determinar la permeabilidad a los cloruros. La norma ASTM C 1202, la cual se introdujo a partir de la edición 2002 del Código, proporciona un método de ensayo para obtener una indicación eléctrica de la capacidad del hormigón de resistir la penetración de los cloruros. Esta norma se basa en la AASHTO T 277-83, documento anteriormente referenciado por el Código.

sábado, 7 de noviembre de 2009

PROTECCIÓN CONTRA LA CORROSIÓN DE LAS ARMADURAS Parte I

Los cloruros pueden ingresar al hormigón a través de sus ingredientes: el agua de mezclado, los agregados, el cemento y los aditivos, o bien cuando el hormigón está expuesto a las sales anticongelantes, el agua de mar o el aire cargado de sal que caracteriza los ambientes costeros. Los valores máximos del contenido de cloruros indicados en la Tabla 4.4.1 se aplican a los cloruros aportados por los ingredientes del hormigón, no a los provenientes del ambiente que rodea a la estructura. Limitar el contenido de cloruros es responsabilidad del fabricante del hormigón, que se debe asegurar que los ingredientes utilizados para elaborar el hormigón (cemento, agua, agregados y aditivos) produzcan un hormigón en el cual el contenido de cloruros esté dentro de los límites especificados para las diferentes condiciones de exposición. De acuerdo con 4.4.1, para determinar el contenido de cloruros de los ingredientes individuales o de muestras de hormigón endurecido se deben utilizar los procedimientos de ensayo especificados en ASTM C 1218. Además de un elevado contenido de cloruros, para inducir el proceso de corrosión es necesaria la presencia de oxígeno y humedad. La disponibilidad de oxígeno y humedad cerca de las armaduras varía según las condiciones de exposición que existan durante la vida de servicio de la estructura, y estas condiciones difieren de una estructura a otra e incluso entre diferentes elementos de una misma estructura.

Si se anticipa que los materiales a utilizar para preparar el hormigón aportarán cantidades significativas de cloruros, se deben ensayar los ingredientes individuales del hormigón, incluyendo el agua, los agregados, el cemento y los aditivos, para verificar que la concentración total de cloruros aportada por los ingredientes no supere los límites indicados en la Tabla
4.4.1. Estos límites han sido establecidos para lograr un umbral mínimo de protección contra la corrosión de las armaduras previo a las condiciones de exposición de servicio. Los contenidos máximos de cloruros para la protección contra la corrosión también dependen del tipo de construcción y del ambiente al cual estará expuesto el hormigón durante su vida de servicio, tal como se indica en la Tabla 4.4.1.

Todos los ingredientes usados para elaborar el hormigón contienen cantidades variables de cloruros. Existen cloruros solubles en agua y cloruros insolubles en agua, pero sólo los cloruros solubles en agua inducen la corrosión. Hay ensayos que permiten determinar tanto el contenido de cloruros solubles en agua como el contenido total de cloruros (solubles e insolubles). El ensayo para determinar el contenido de cloruros solubles es más lento y difícil de controlar, y por lo tanto es más costoso que el ensayo para determinar el contenido total de cloruros. Se puede obtener una estimación inicial del contenido de cloruros ensayando los diferentes ingredientes del hormigón para determinar su contenido total de cloruros (solubles e insolubles). Si el contenido total de cloruros es menor que el valor permitido por la Tabla 4.4.1 no será necesario determinar el contenido de cloruros solubles en agua. Pero si el contenido total de cloruros es mayor que el valor permitido
será necesario ensayar muestras del hormigón endurecido para determinar su contenido de cloruros solubles en agua y comparar los resultados obtenidos con los valores de la Tabla 4.4.1. Algunos de los cloruros solubles de los ingredientes reaccionarán con el cemento durante el proceso de hidratación y se volverán insolubles, reduciendo así el contenido de cloruros solubles, o sea la causa de la corrosión. Del contenido total de cloruros del hormigón endurecido solamente del 50 al 85 por ciento es soluble en agua; el resto es insoluble. Observar que el hormigón endurecido debe tener como mínimo una edad de 28 días antes de tomar las muestras para los ensayos.

jueves, 25 de junio de 2009

Limitaciones

El Método de Diseño Directo sólo es aplicable cuando se satisfacen las limitaciones ilustradas en la Figura 19-2:

1. En cada dirección debe haber tres o más tramos continuos;

2. Los paneles de losa deben ser rectangulares, con una relación entre la luz mayor y la luz menor (medidas entre los centros de
los apoyos) no mayor que 2;

3. Las longitudes de las luces sucesivas en cada dirección (medidas entre los centros de los apoyos) no deben diferir en más de
1/3 de la luz mayor;

4. Las columnas no deben estar desalineadas respecto de cualquier eje que une centros de columnas sucesivas más de 10% de la luz (en la dirección del desalineamiento);

5. Las cargas deben ser uniformemente distribuidas, y la sobrecarga no mayorada o de servicio no debe ser mayor que dos veces
la carga permanente no mayorada o de servicio (L/D ≤ 2);

6. Para las losas en dos direcciones con todos sus lados apoyados en vigas, la rigidez relativa de las vigas en dos direcciones perpendiculares debe satisfacer los requisitos mínimos y máximos especificados en el artículo 13.6.1.6; y

7. No está permitida la redistribución de momentos negativos de acuerdo con el artículo 8.4.

miércoles, 24 de junio de 2009

DISEÑO PRELIMINAR

Antes de proceder con el Método de Diseño Directo es necesario determinar una altura de losa preliminar h para controlar las flechas, de acuerdo con los requisitos de altura mínima dados en el artículo 9.5.3. Tanto la Tabla 18-1 como la Figura 18-3 se pueden utilizar para simplificar el cálculo de la altura mínima.


Para los sistemas de losas sin vigas, en esta etapa del proceso de diseño es aconsejable verificar la resistencia al corte de la losa en la proximidad de las columnas u otros apoyos de acuerdo con el requisito especial para el corte en losas (11.12). Ver la discusión sobre el artículo 13.5.4 en la Parte 18.

Una vez que se ha seleccionado una altura de losa, el Método de Diseño Directo, el cual básicamente consiste en un procedimiento de análisis en tres pasos, implica: (1) determinar el momento estático mayorado total para cada tramo, (2) dividir el momento estático mayorado total en un momento positivo y otro momento negativo en cada tramo, y (3) distribuir los momentos positivos y negativos a las franjas de columna y las franjas intermedias en la dirección transversal.

Para efectuar el análisis el sistema de losas se divide en franjas de diseño compuestas por una franja de columna más dos medias franjas intermedias, según lo definido en los artículos 13.2.1 y 13.2.2 y como se ilustra en la Figura 19-1. En el caso de los sistemas de losas en los cuales las longitudes de tramo varían a lo largo de la franja de diseño, el diseñador deberá aplicar su criterio profesional para aplicar las definiciones dadas en el artículo 13.2.1.

martes, 23 de junio de 2009

Losas en dos direcciones - Método de Diseño Directo

CONSIDERACIONES GENERALES

El Método de Diseño Directo es un procedimiento aproximado para analizar sistemas de losas en dos direcciones solicitados exclusivamente por cargas gravitatorias. Debido a que se trata de un procedimiento aproximado, la aplicación de este método se limita a los sistemas de losas que satisfacen las limitaciones especificadas en el artículo 13.6.1. Los sistemas de losas en dos direcciones que no satisfacen estas limitaciones se deben analizar mediante procedimientos más exactos tal como el Método del Pórtico Equivalente especificado en 13.7. En la Parte 20 presentamos una discusión del Método del Pórtico Equivalente, junto con ejemplos de diseño.

Con la publicación de ACI 318-83, el Método de Diseño Directo simplificó enormemente el análisis de los momentos de los sistemas de losas en dos direcciones, ya que se eliminaron todos los cálculos de las rigideces para determinar los momentos de diseño en un tramo extremo. Las expresiones para calcular la distribución en función de la relación de rigidez αec fueron reemplazadas por una tabla de coeficientes de momento para distribuir los momentos totales en los tramos finales (13.6.3.3). Otro cambio introducido fue que la anterior ecuación aproximada (13-4) para transferencia de momento no balanceado entre la losa y
una columna interior también se simplificó, eliminando el término de αec. A partir de estos cambios el Método de Diseño Directo se transformó en un procedimiento de diseño verdaderamente directo, uno que permite determinar todos los momentos de diseño mediante la aplicación de coeficientes de momento. Además, se incorporó un nuevo artículo 13.6.3.6, que contiene un requisito especial para el corte debido a la transferencia de momento entre una losa sin vigas y una columna de borde, y que se aplica cuando se utilizan los coeficientes de momento aproximados de 13.6.3.3. Ver la discusión del artículo 13.6.3.6 a continuación. Hasta la edición 1989 del Código (revisada en 1992), el artículo R13.6.3.3 incluía un "Método de Rigidez Modificado" que reflejaba la distribución original, y que permitía confirmar que las ayudas para el diseño y el software basados en la distribución original en función de la relación de rigidez αec aún eran aplicables. El "Método de Rigidez Modificado" se eliminó del artículo R13.6.3.3 en la edición 1995 del Código y el comentario.

domingo, 21 de junio de 2009

A.1 DEFINICIONES (I)

El procedimiento de diseño por bielas y tirantes exige diferenciar en los elementos de hormigón dos tipos de zonas, dependiendo de las características de los campos de tensiones en cada ubicación. En consecuencia, los elementos estructurales se dividen en regiones B y regiones D.

Regiones B - Las regiones B representan las partes de un elemento en las cuales se puede aplicar la hipótesis de "secciones planas" de la teoría clásica de flexión.
Regiones D - Las regiones D son las partes de un elemento que están ubicadas fuera de las regiones B; en las regiones D se anticipa que luego de aplicar las cargas las secciones planas no permanecerán planas. Típicamente se asume que hay regiones D en las partes de un elemento donde hay discontinuidades (o perturbaciones) de la distribución de tensiones provocadas por la presencia de fuerzas concentradas (cargas o reacciones) o cambios bruscos de la geometría. En base al principio de St. Venant, las tensiones normales (debidas a carga axial y flexión) se aproximan a una distribución prácticamente lineal a una distancia aproximadamente igual al mayor valor entre la altura total (h) y el ancho del elemento, a partir de la ubicación de la fuerza concentrada o la irregularidad geométrica. La Figura 17-1 ilustra ejemplos típicos de discontinuidades, Regiones D (áreas sombreadas) y Regiones B.

sábado, 20 de junio de 2009

REQUISITOS GENERALES

El modelo de bielas y tirantes constituye un enfoque de diseño nuevo, aplicable a toda una gama de problemas de diseño para los cuales el cuerpo principal del código no contiene una solución de diseño explícita. Este método exige que el diseñador seleccione cuidadosamente un recorrido realista de las cargas dentro del elemento estructural, formando un reticulado idealizado. Detallando los elementos del reticulado de forma racional y satisfaciendo las condiciones de equilibrio se asegura la transferencia de las cargas a los apoyos o a otras regiones diseñadas mediante métodos convencionales. Aunque las soluciones que se obtienen aplicando esta poderosa herramienta de análisis no son únicas, representan un enfoque conservador de límite inferior. A diferencia de algunas de las formulaciones contenidas en el cuerpo principal del Código, el modelo racional y fácil de visualizar indicado en el Apéndice A permite comprender las necesidades de diseño de las regiones irregulares de las estructuras de hormigón, a la vez que promueve la ductilidad.

La metodología de diseño presentada en el Apéndice A se basa en gran medida en los artículos preparados sobre este tema por Schlaich et al.17.1 y Marti17.2. A partir de la publicación de estos trabajos, el método de bielas y tirantes ha recibido cada vez mayor atención por parte de otros investigadores y autores (Collins y Mitchell17.3, MacGregor17.4). La forma actual del Apéndice A no incluye requisitos explícitos sobre comportamiento en servicio (tal como control de las flechas o fisuración).

viernes, 19 de junio de 2009

Modelos de Bielas y Tirantes

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002

La edición 2002 del Apéndice A de ACI 318 introduce la forma codificada del método de bielas y tirantes. Aunque las analogías del reticulado estaban implícitas en los requisitos de diseño para corte y torsión de las ediciones anteriores del Código, y se permitía utilizar "métodos que satisfacen los requisitos de equilibrio y resistencia," esta es la primera vez que el tema es tratado de manera consistente.

miércoles, 17 de junio de 2009

ENTALLADURAS HORIZONTALES EN VIGAS (I)

Las vigas que tienen entalladuras horizontales se deben diseñar para los efectos globales de flexión, corte, esfuerzos axiales y torsión que actúan en el elemento, como así también para los efectos locales en la proximidad de la entalladura (Referencias 15.2 y 15.6). El Código no trata específicamente el diseño de las entalladuras horizontales en vigas. Esta sección sólo abarca los modos de falla localizados y los requisitos de armadura para impedir estas fallas.

El diseño de las entalladuras de las vigas es similar al de las ménsulas en cuanto a las condiciones de carga, pero en las entalladuras de vigas se deben considerar requisitos de diseño y detalles de armado adicionales. En consecuencia, aún cuando el Código no lo trata específicamente, este capítulo presenta el diseño de las entalladuras horizontales en vigas. En la Figura 15-3 se ilustran
algunos de los modos de falla ya descritos al hablar de las ménsulas. Sin embargo, en el caso de las entalladuras se deberán
considerar dos modos de falla adicionales (ver Figura 15-3): (5) separación entre la entalladura y el alma de la viga cerca de la parte superior de la entalladura en la proximidad de la carga de la entalladura, y (6) punzonado. La carga vertical aplicada a la entalladura es resistida por una biela comprimida. A su vez, la componente vertical de la biela comprimida inclinada debe ser tomada por los estribos del alma (ramas de los estribos Av adyacentes a la cara lateral del alma) que actúan como armadura "de suspensión" para llevar la carga de la entalladura a la parte superior de la viga. En la esquina formada por la intersección de la entalladura y el alma aparecerá una fisura diagonal que se extenderá hasta el estribo y continuará adyacente al mismo. Por este motivo, para calcular el momento debido a Vu se utiliza una luz de corte, af, ligeramente mayor. Ahora bien, la sección crítica para el momento se toma en el centro de los estribos de la viga, y no en la cara de la viga. Además, para las entalladuras horizontales en
las vigas, para la resistencia a la flexión el brazo de momento interno no se debe tomar mayor que 0,8h.

martes, 16 de junio de 2009

Requisitos de diseño (II)

De acuerdo con el artículo 11.9.4, tanto en el caso (a) como en el caso (b), Ah 0, 5As An determina la cantidad de armadura de corte que se debe proveer en forma de estribos cerrados paralelos a As distribuidos en forma uniforme dentro de una distancia igual a (2/3 d) adyacente a As.

Se requiere una cuantía mínima de armadura principal de tracción ρmin = 0,04f´c/fy para asegurar un comportamiento dúctil una vez que se produce fisuración bajo la acción del momento y la fuerza de tracción directa (11.9.5).


lunes, 15 de junio de 2009

Requisitos de diseño (I)

La sección crítica para el diseño de las ménsulas se toma en la cara del apoyo. Esta sección se debe diseñar para que resista simultáneamente un esfuerzo de corte Vu, un momento Mu = Vua + Nuc (h – d), y una fuerza de tracción horizontal Nuc (11.9.3). El valor de Nuc no debe ser menor que 0,2Vu, a menos que se adopten disposiciones especiales para evitar las fuerzas de tracción
(11.9.3.4). Este valor mínimo de Nuc se ha establecido para tomar en cuenta el comportamiento incierto de las uniones deslizantes y/o los apoyos flexibles. Además, típicamente la fuerza de tracción Nuc se debe a causas indeterminadas tales como la contracción restringida o las tensiones de origen térmico. En cualquier caso, esta fuerza se debe considerar siempre como una sobrecarga a la cual se aplicará un factor de carga igual a 1,6 (11.9.3.4). Debido a que el diseño de las ménsulas es controlado fundamentalmente por corte, el artículo 11.9.3.1 especifica que el factor de reducción de la resistencia, , se debe tomar igual a 0,75 para todas las condiciones de diseño.

Para el hormigón de peso normal, la resistencia al corte Vn se limita al menor valor entre 0,2f'cbwd y 800bwd (11.9.3.2). Para el hormigón liviano, Vn está limitada por los requisitos del artículo 11.9.3.2.2, los cuales son más restrictivos que los correspondientes a hormigón de peso normal. Ensayos realizados han demostrado que en el caso del hormigón liviano Vn depende
de f'c y de a/d.

Para las ménsulas la armadura requerida es:

Avf = área de armadura de corte por fricción para resistir el corte directo Vu, calculada de acuerdo con el artículo
11.7 (11.9.3.2).

Af = área de armadura de flexión para resistir el momento Mu = Vua + Nuc (h – d), calculada de acuerdo con los artículos 10.2 y 10.3 (11.9.3.3).

An = área de armadura para resistir la fuerza de tracción directa Nuc, calculada de acuerdo con el artículo 11.9.3.4.

En la Figura 15-2 se ilustra la armadura que se debe proveer, incluyendo:

As = armadura principal de tracción

Ah = armadura de corte (estribos cerrados)

Esta armadura se provee de manera tal que la armadura total As + Ah que atraviesa la cara del apoyo sea el valor mayor entre (a)
Avf + An, y (b) 3Af /2 + An para satisfacer criterios basados en resultados de ensayos.15.1


sábado, 13 de junio de 2009

Torsión crítica (III)



Es importante observar que si se trata de secciones huecas en las Ecuaciones (12) a (14) se debe utilizar Ag en lugar de Acp.
Para el análisis de la torsión, una sección hueca se define como aquella que posee uno o más vacíos longitudinales de manera
que se verifique Ag/Acp < 0,95 (ver R11.6.1). En este caso el término Ag es el área de hormigón solamente (es decir, no incluye
el área de los vacíos), en base a la sección establecida en el artículo 13.2.4. En el Código 2002 se modificaron los requisitos del
artículo 11.6.1 de manera que se puedan aplicar a secciones huecas, ya que los ensayos informados en la Referencia 11.29 indican que el momento torsor de fisuración de una sección hueca es aproximadamente (Ag/Acp) por el momento torsor de fisuración de una sección maciza que tiene las mismas dimensiones exteriores.

viernes, 12 de junio de 2009

Torsión crítica (II)


jueves, 11 de junio de 2009

Torsión crítica (I)

La torsión se puede despreciar si el momento torsor mayorado Tu es menor que Tcr/4, siendo Tcr el momento torsor de fisuración (o momento torsor crítico). El momento torsor de fisuración corresponde a una tensión de tracción principal de
4 f 'c . Antes de la fisuración, el espesor de la pared del tubo "t" y el área encerrada por la trayectoria del flujo de corte "Ao" se relacionan con la geometría de la sección no fisurada en base a las siguientes hipótesis:


Las Ecuaciones (7) y (8) se aplican a secciones no fisuradas. Para las vigas de borde y otros elementos hormigonados de forma monolítica con una losa, el ancho de ala en voladizo de la losa contribuyen a la resistencia a la torsión. En la Figura R13.2.4 se ilustra la sección efectiva de losa a considerar junto con la viga.



Reemplazando t de la Ecuación (7), Ao de la Ecuación (8) y tomando 4 f 'c
momento torsor de fisuración para los elementos no pretensados:


martes, 9 de junio de 2009

Longitud sin apoyo lateral y longitud efectiva de elementos comprimidos (III)

En las estructuras habituales de hormigón armado el diseñador rara vez se ocupa de elementos individuales, sino que analiza sistemas aporticados rígidos compuestos por conjuntos de viga-columna y losa-columna. El comportamiento de pandeo de un pórtico que no está arriostrado contra el desplazamiento lateral (desplazable) se puede ilustrar mediante el pórtico sencillo de la Figura 11-9. Como no tiene restricción lateral en el extremo superior, la totalidad del pórtico (no arriostrado) es libre de moverse lateralmente. El extremo inferior puede ser articulado o estar parcialmente restringido contra la rotación. En general, la longitud efectiva ℓe depende del grado de restricción contra la rotación de los extremos de la columna y ℓu < ℓe < ∞.

lunes, 8 de junio de 2009

Longitud sin apoyo lateral y longitud efectiva de elementos comprimidos (II)


Una columna que está empotrada en un extremo y totalmente libre en el otro (en voladizo) pandeará como se ilustra en la Figura 11-8(a). El extremo superior tendrá un desplazamiento lateral relativo con respecto al extremo inferior. La geometría deformada de estos elementos es similar a la mitad de la deformada sinusoidal del elemento articulado en ambos extremos ilustrado en la Figura 11-7(a). En consecuencia, la longitud efectiva es igual a dos veces la longitud real. Si la columna está impedida contra la rotación en ambos extremos pero uno de los extremos se puede desplazar lateralmente respecto del otro, la columna pandeará como
se ilustra en la Figura 11-8(b). La longitud efectiva ℓe será igual a la longitud real ℓu, con un punto de inflexión (pi) ubicado como se indica. La carga de pandeo de la columna de la Figura 11-8(b), en la cual el desplazamiento lateral no está impedido, es un cuarto de la de la columna de la Figura 11-7(b), en la cual el desplazamiento lateral sí está impedido. Como se indicó anteriormente, los extremos de las columnas rara vez son totalmente articulados o totalmente empotrados, sino que están parcialmente restringidos contra la rotación por los elementos solidarios a la columna. Por lo tanto, la longitud efectiva variará entre ℓu e infinito, como se indica en la Figura 11-8(c). Si los elementos que restringen el movimiento (vigas o losas) son muy rígidos en relación con la columna, el pandeo se aproximará al esquema ilustrado en la Figura 11-8(b). En cambio, si los elementos que restringen el movimiento son bastante flexibles, la columna se aproximará a una condición articulada en ambos extremos y la columna (o las columnas), y posiblemente la estructura, se aproximarán a la instabilidad.

domingo, 7 de junio de 2009

Longitud sin apoyo lateral y longitud efectiva de elementos comprimidos (I)

La longitud sin apoyo lateral (o longitud no soportada) ℓu de una columna, definida en 10.11.3, es la distancia libre entre apoyos laterales, como se ilustra en la Figura 11-6. Observar que la longitud ℓu puede ser diferente para el pandeo respecto de cada uno de los ejes principales de la sección transversal de la columna. La ecuación básica de Euler para la carga crítica de pandeo se puede expresar como Pc = π2EI/(ℓe)2, siendo ℓe la longitud efectiva kℓu. Las ecuaciones básicas para el diseño de columnas esbeltas fueron desarrolladas para extremos articulados y, por lo tanto, se las debe modificar para considerar los efectos de las condiciones de vínculo. La longitud efectiva de la columna, kℓu, y no la longitud real sin apoyo lateral ℓu, es la que se utiliza para estimar las resistencias de las columnas esbeltas. Esta longitud efectiva considera tanto las condiciones de vínculo como la condición de sistema indesplazable o desplazable.


Cuando se produce la carga crítica definida por la ecuación de Euler, un elemento originalmente recto pandea con una forma de semionda sinusoidal, como se ilustra en la Figura 11-7(a). Con esta configuración, en cada sección actúa un momento adicional P- ∆, siendo ∆ el desplazamiento lateral en el punto específico considerado a lo largo de la columna. Este desplazamiento lateral continúa aumentando hasta que la tensión por flexión provocada por el momento (P-∆), más la tensión de compresión original provocada por las cargas aplicadas, excede la resistencia a la compresión del hormigón y la columna falla. La longitud efectiva ℓe (= kℓu) es la longitud entre los apoyos articulados, entre puntos de momento nulo o entre puntos de inflexión. Para la condición de ambos extremos articulados ilustrada en la Figura 11-7(a), la longitud efectiva es igual a la longitud sin apoyo lateral o no soportada, ℓu. Si el elemento está empotrado en ambos extremos (restringido contra la rotación), el pandeo se producirá en la forma ilustrada en la Figura 11-7(b); habrá puntos de inflexión en los puntos indicados, y la longitud efectiva ℓe será igual a la mitad de la longitud sin apoyo lateral, ℓu. La carga crítica de pandeo Pc para la condición de extremos empotrados es cuatro veces mayor que para la condición de extremos articulados. En las estructuras reales rara vez las columnas son perfectamente articuladas o empotradas, sino que sus extremos están parcialmente restringidos contra la rotación por los elementos solidarios a la columna. En consecuencia, la longitud efectiva está comprendida entre ℓu/2 y ℓu, como se indica en la Figura 11-7(c), siempre que esté impedido el desplazamiento lateral de un extremo de la columna respecto del otro. El valor real de la longitud efectiva depende de la rigidez de los elementos solidarios a los extremos superior e inferior de la columna.

viernes, 5 de junio de 2009

Apéndice 9A: Distribución de la armadura de tracción de acuerdo con el Código 1995 (IV) - REFERENCIA




REFERENCIA

9A.1 Lutz, L. A., "Crack Control Factor for Bundled Bars and for Bars of Different Sizes," ACI Journal, Proceedings Vol. 71, Enero 1974, pp. 9-10.

jueves, 4 de junio de 2009

Apéndice 9A: Distribución de la armadura de tracción de acuerdo con el Código 1995 (III)



Para una sola capa de armadura, la separación máxima requerida para controlar la fisuración se determina de la siguiente manera (ver Figura 9A-3):



donde dc = recubrimiento libre + 1/2 (diámetro de barra). La ecuación anterior se utilizó para generar los valores para la máxima
separación de las barras indicados en las Tablas 9A-1 y 9A-2 para armadura Grado 60. Las tablas se basan en una tensión bajo
cargas de servicio fs = 0,6fy, según lo permitido por 10.6.4. Los cálculos para fs darían por resultado alrededor de 0,56fy para una relación entre sobrecarga y carga permanente igual a 0,5, y 0,60fy para una relación entre sobrecarga y carga permanente igual a 2.

martes, 2 de junio de 2009

SUPERFICIES DE FALLA

La resistencia nominal de una sección solicitada a flexión biaxial y compresión es una función de tres variables, Pn, Mnx y Mny, las cuales se pueden expresar en términos de una carga axial actuando con excentricidades ex = Mny/Pn y ey = Mnx/Pn, como se ilustra en la Figura 7-8. Una superficie de falla se puede describir como una superficie generada graficando la carga de falla Pn en función de sus excentricidades ex y ey, o de sus momentos flectores asociados Mny y Mnx. Se han definido tres tipos de superficies de falla.7.4, 7.5, 7.6 La superficie básica S1 se define mediante una función que depende de las variables Pn, ex y ey; esta superficie se ilustra en la Figura 7-9(a). A partir de S1 se puede derivar una superficie recíproca; para generar la superficie S2 (1/Pn, ex, ey) se utiliza la recíproca o inversa de la carga axial nominal Pn como se ilustra en la Figura 7-9(b). El tercer tipo de superficie de falla, ilustrado en la Figura 7-9(c), se obtiene relacionando la carga axial nominal Pn con los momentos Mnx y Mny para producir la superficie S3 (Pn, Mnx, Mny). La superficie de falla S3 es la extensión tridimensional del diagrama de interacción uniaxial que mencionamos anteriormente.

Varios investigadores han desarrollado aproximaciones tanto para la superficie de falla S2 como para la S3 que se pueden usar para el diseño y el análisis.7.6 - 7.10 A continuación presentamos una explicación de estos métodos utilizados en la práctica actual, junto

lunes, 1 de junio de 2009

RESISTENCIA CON INTERACCIÓN BIAXIAL

Un diagrama de interacción uniaxial define la resistencia a la combinación de carga y momento en un único plano de una sección solicitada por una carga axial P y un momento uniaxial M. La resistencia a la flexión biaxial de una columna cargada axialmente se puede representar esquemáticamente como una superficie formada por una serie de curvas de interacción uniaxial trazadas en forma radial a partir del eje P (ver Figura 7-6). Los datos para estas curvas intermedias se obtienen variando el ángulo del eje neutro (para configuraciones de deformación específica supuestas) con respecto a los ejes principales (ver Figura 7-7).

La dificultad asociada con la determinación de la resistencia de las columnas armadas solicitadas a combinaciones de carga axial y flexión biaxial es fundamentalmente de naturaleza aritmética. La resistencia a la flexión de una columna cargada axialmente respecto de un eje oblicuo particular se determina mediante iteraciones que involucran cálculos sencillos pero laboriosos. Estos cálculos se vuelven aún más laboriosos si se desea optimizar la armadura o la sección transversal.

Para la flexión uniaxial es habitual utilizar ayudas de diseño en forma de curvas o tablas de interacción. Sin embargo, debido a la naturaleza voluminosa de los datos y a lo difícil que resulta realizar múltiples interpolaciones, no resulta práctico desarrollar curvas
o tablas de interacción para diferentes relaciones entre los momentos flectores respecto de cada eje. Por este motivo se han desarrollado varios enfoques (todos ellos basados en aproximaciones aceptables) que relacionan la respuesta de una columna en flexión biaxial con su resistencia uniaxial respecto de cada uno de sus ejes principales.

domingo, 31 de mayo de 2009

CONSIDERACIONES GENERALES – CARGA BIAXIAL

Una columna está solicitada a flexión biaxial cuando la carga provoca flexión simultánea respecto de ambos ejes principales. El caso más habitual de este tipo de carga ocurre en las columnas de esquina. El diseño para flexión biaxial y carga axial se menciona
en R10.3.6 y R10.3.7. La Sección 10.11.6 trata los factores de amplificación de momento por consideraciones de esbeltez para los elementos comprimidos solicitados a carga biaxial. La sección R10.3.6 establece que "las columnas de esquina y otras que estén expuestas a momentos conocidos respecto de ambos ejes que ocurren en forma simultánea se deben diseñar para flexión biaxial y carga axial." Se recomiendan dos métodos para el diseño combinado a flexión biaxial y carga axial: el Método de las Cargas Recíprocas y el Método del Contorno de las Cargas. A continuación se presentan ambos métodos, junto con una extensión del Método del Contorno de las Cargas (Método del Contorno de las Cargas de la PCA).

viernes, 29 de mayo de 2009

Construcción de losas izadas - Refencias

Para la construcción de losas izadas el artículo 7.13.4 dirige al usuario a los artículos 13.3.8.6 y 18.12.6.

Referencias

3.1 ACI Detailing Manual - 1994, Publication SP-66(94), American Concrete Institute, Detroit, MI, 1994.

3.2 Manual of Standard Practice, 27º Edición, Concrete Reinforcing Steel Institute, Schaumburg, IL, 2001.

3.3 Structural Welded Wire Fabric Detailing Manual, WWR-600, Wire Reinforcement Institute, McLean, VA, 1994.

3.4 Babaei, K. y Hawkins, N.M., "Field Bending and Straightening of Reinforcing Steel,” Concrete International: Design and Construction, Vol. 14, No. 1, Enero 1992.

3.5 Standard Specification for Tolerances for Concrete Construction and Materials and Commentary, ACI 117/117-90, American Concrete Institute, Detroit, MI, 1990.

3.6 Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures, (ASCE 7-98), American Society of Civil Engineers, Reston, VA, 1998.

3.7 Design and Typical Details of Connections for Precast and Prestressed Concrete, Publication MNL-123-88, Precast/Prestressed Concrete Institute, Chicago, IL, 1988.

3.8 PCI Building Code Committee, "Proposed Design Requirements for Precast Concrete,” PCI Journal, Vol. 31, No. 6, Nov.-Dic. 1986, pp. 32-47.

jueves, 28 de mayo de 2009

Construcciones de hormigón prefabricado

Los requisitos para la integridad estructural de las construcciones hormigonadas en obra anteriores al Código 1989 eran prescriptivos. En 1989 se introdujeron requisitos para las construcciones de hormigón prefabricado que solamente especifican ciertos niveles de comportamiento. Este enfoque es el único posible, ya que las estructuras de hormigón prefabricado pueden ser de incontables tipos diferentes. El código exige que en las estructuras de hormigón prefabricado se coloquen armaduras especiales de tracción, cualquiera sea la altura de la construcción. No se permiten las conexiones que dependen exclusivamente de la fricción originada por las cargas gravitatorias.

El requisito general para la integridad estructural, establecido en el artículo 7.13.1, indica que "los elementos de una estructura se deben vincular eficazmente entre sí." El comentario incluido en 1989 advertía que para las construcciones de hormigón prefabricado los detalles de las conexiones se debían diseñar de manera de minimizar la potencial fisuración debida a la restricción de los movimientos originados por fluencia lenta, contracción y variaciones de temperatura. La Referencia 3.7 contiene información sobre las prácticas utilizadas por la industria para las conexiones y los detalles de armado. La Referencia 3.8 contiene requisitos prescriptivos recomendados por la PCI para los tabiques portantes de hormigón prefabricado. El Capítulo 16 de ACI 318-95 introdujo por primera vez requisitos prescriptivos para la integridad estructural de las estructuras de hormigón prefabricado (ver la discusión en el Capítulo 23 de esta publicación).

jueves, 14 de mayo de 2009

Flechas instantáneas de vigas y losas armadas en una dirección (no pretensadas)

Las flechas iniciales o instantáneas de las vigas y losas armadas en una dirección ocurren inmediatamente después que se aplica carga a un elemento estructural. Los principales factores que afectan la flecha instantánea de un elemento son (ver Referencia 10.3):

a. la magnitud y la distribución de la carga,
b. la luz y las condiciones de vínculo,
c. las propiedades de la sección y la cuantía de acero,
d. las propiedades de los materiales, y
e. la cantidad y extensión de la fisuración por flexión.



Las siguientes propiedades del hormigón afectan significativamente el comportamiento de los elementos armados solicitados a flexión bajo cargas de corta duración: resistencia a la compresión (f'c), módulo de elasticidad (Ec) y módulo de rotura (fr). El módulo de elasticidad en particular evidencia más variación en función de la calidad del hormigón, la edad del hormigón, el nivel de tensión, y la velocidad de aplicación o la duración de las cargas.

CONTROL DE FLECHAS

El código presenta dos métodos para controlar las flechas en los elementos armados en una y dos direcciones solicitados a flexión. Las flechas se pueden controlar de forma directa limitando las flechas calculadas [ver Tabla 9.5(b)], o de manera indirecta por medio de alturas o espesores mínimos [Tabla 9.5(a) para sistemas armados en una dirección, y Tabla 9.5(c) y Ecuaciones (9-12) y (9-13) para sistemas armados en dos direcciones].

9.5.2.1 Altura o espesor mínimo para vigas y losas armadas en una dirección (no pretensadas) – Las flechas de las vigas y losas armadas en una dirección que soportan las cargas habituales en las construcciones generalmente serán satisfactorias cuando se satisfagan las alturas o espesores mínimos indicados en la Tabla 9.5(a) (reproducidos en la Tabla 10-1).

El diseñador debe observar que este requisito sólo se aplica a elementos que no soportan, ni están unidos a, tabiques divisorios u otros elementos susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas. Para todos los demás elementos es necesario calcular las flechas.

miércoles, 13 de mayo de 2009

FLECHAS(ACTUALIZACION PARA EL CODIGO 2002)

La edición 2002 de ACI 318 amplía la sección 9.5.4 para las flechas de los elementos de hormigón pretensado. Específicamente,las secciones 9.5.4.2 y 9.5.4.3 existentes se renumeraron como 9.5.4.3 y 9.5.4.4 para permitir la introducción de una nueva sección9.5.4.2. La nueva sección trata el cálculo de las flechas de los elementos de hormigón pretensado fisurados y en la región de
transición (Clase C y Clase T), según lo definido en 18.3.3. El cálculo se puede basar ya sea en una relación momento-curvaturabilineal o bien en el tradicional momento de inercia efectivo.

CONSIDERACIONES GENERALES

Los requisitos del Código ACI para control de las flechas se ocupan exclusivamente de las flechas que ocurren bajo niveles de carga de servicio en condiciones estáticas, y pueden no ser aplicables a las cargas que presentan fuertes características dinámicas tales como aquellas provocadas por movimientos sísmicos, vientos transitorios y la vibración de maquinarias. Debido a la variabilidad de las deformaciones estructurales del hormigón, los diseñadores no deben confiar indebidamente en las estimaciones de las flechas obtenidas mediante cálculo. En la mayoría de los casos se justifica el uso de procedimientos relativamente simples para estimar las flechas. En las Referencias 10.1 y 10.2 se discute en profundidad el tema del control de las flechas, incluyendo métodos más refinados para calcular las deformaciones.

martes, 31 de marzo de 2009

LÍMITES DE APLICACIÓN DE LOS REQUISITOS PARA MÉNSULAS

El procedimiento de diseño para ménsulas reconoce el comportamiento como viga de gran altura o como reticulado simple de estos elementos con baja longitud de corte, como se ilustra en la Figura 15-1. Se deben impedir los cuatro modos de falla potenciales indicados en la Figura 15-1: (1) Falla por corte directo en la interfase entre la ménsula y el elemento en que se apoya; (2) Fluencia
de la armadura traccionada por el momento y la tracción directa; (3) Aplastamiento de la "biela" comprimida interna; y (4) Falla localizada por aplastamiento o por corte debajo del área cargada.

Para diseñar ménsulas en las cuales la relación entre la luz de corte y la altura, a/d, es menor que 2, se pueden usar los requisitos
del Apéndice A. Los requisitos de los artículos 11.9.3 y 11.9.4 se permiten cuando a/d ≤ 1 y la fuerza horizontal Nuc ≤ Vn.

Independientemente del método de diseño utilizado, se deben satisfacer los requisitos de los artículos 11.9.2, 11.9.3.2.1, 11.9.3.2.2,
11.9.5 y 11.9.6.

Cuando a/d es mayor que 2,0 las ménsulas se deben diseñar como voladizos, utilizando los requisitos aplicables para flexión y corte.

lunes, 30 de marzo de 2009

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002

Antes del Código 2002, los requisitos del artículo 11.9 sólo eran aplicables a las ménsulas en las cuales la relación entre la luz de corte y la profundidad, a/d, era menor o igual que 1,0. El Código 2002 permite utilizar los requisitos del Apéndice A, Modelos de Bielas y Tirantes, para diseñar ménsulas con relaciones a/d menores que 2,0 (11.9.1). Ver la Parte 17.

sábado, 28 de marzo de 2009

ANTECEDENTES IV

En la Figura 13-4 se muestra un diagrama de cuerpo libre para equilibrio horizontal. La fuerza de corte vertical Vi en la pared
"i" es igual al producto del flujo de corte q por la longitud de la pared yi. El vector Vi se puede descomponer en dos
componentes: una componente diagonal con una inclinación θ igual al ángulo que forman las diagonales del reticulado, y una
componente horizontal igual a:

Ni Vi cot 

La fuerza Ni está centrada a la mitad de la altura de la pared, ya que q es constante a lo largo de todo el lateral del elemento. Los
cordones superior e inferior del cuerpo libre de la Figura 13-4 están sujetos a una fuerza de Ni/2, cada uno. Internamente se
asume que la armadura longitudinal llega a la tensión de fluencia cuando se llega al máximo momento torsor. Sumando las
fuerzas internas y externas en los cordones de todas las paredes del reticulado espacial se obtiene:




donde A f y es la fuerza de fluencia en toda la armadura longitudinal requerida para torsión.

Reordenando los términos de la ecuación anterior,